Komplexe Zahlen – Ein Besuch an der TU Dortmund

Viele Schüler machen den Fehler und halten das schulische Fach „Mathematik“ für „echte“ Mathematik. In der Schule macht man nämlich nur relativ wenig „echte“ Mathematik, sondern man rechnet. Man hantiert also mit Zahlen und erhält reale und vorstellbare Ergebnisse. Dies ändert sich, wenn man sich tiefgründiger mit der Mathematik beschäftigt. Denn dann steigert sich der Grad der Abstraktion dermaßen, dass man keinen realen Bezug mehr finden kann- man ist im Bereich der komplexen Zahlen.

Im Matheunterricht passiert es manchmal, dass man etwa die pq-Formel anwendet und der Radikand eine negative Zahl enthält. Dann vermerkt man, dass es keine Lösung gibt und ist mit der Aufgabe fertig- im reellen Zahlenbereich! Im komplexen Zahlensystem gibt es sehr wohl Lösungen für negative Radikanden. Ich hatte die Möglichkeit die komplexen Zahlen in einer Mathevorlesung an der Universität Dortmund näher kennenzulernen.

Man definiert zuerst die imaginäre Einheit i als i2 =-1 mit der Begründung, dass es diese Zahl ja geben könne, obwohl man sie sich nicht vorstellen kann. Somit sind negative Radikanden mithilfe von i und teilweisem Wurzelziehen kein Hindernis mehr: √-25=5i

Diese imaginäre Einheit führt auf den Zahlenbereich der komplexen Zahlen, der eine Erweiterung des reellen Zahlenbereichs darstellt.

Man kann jede komplexe Zahl z in dieser Form notieren: z = x + iy

komplexe-zahlen

Die Zahl x ist der Realteil von z (abgekürzt: Re z), wohingegen y der Imaginärteil von z (abgekürzt: Im z) ist. Es ist zu beachten, dass der Im z immer mit der imaginären Einheit i steht, jedoch selbst eine reelle Zahl ist. Die komplexen Zahlen verhalten sich stellenweise wie reelle Zahlen, so z.B. bei Additionen. In diesem Fall gelten sogar das Assoziativ- und Kommutativgesetz. Oftmals sind komplexe Zahlen aber anders als reelle Zahlen. Als Beispiel hierfür soll die Ordnung des Zahlensystems dienen.

Reelle Zahlen sind geordnet, d.h. es ist möglich bei zwei reellen Zahlen a und b für a≠b anzugeben, welche der beiden Zahlen größer als die andere ist.

Dahingegen sind komplexe Zahlen nicht geordnet. Man kann keine Aussage darüber treffen, welche der zwei komplexen Zahlen z und w für z≠w größer als die andere ist. Das Problem ist bei dem Ausdruck iy, welches nicht greifbar ausgedrückt werden kann, da i rein imaginärer Natur ist. Man kann komplexe Zahlen daher nicht auf einem Zahlenstrahl geordnet darstellen. Doch wie stellt man komplexe Zahlen denn dar? Komplexe Zahlen werden als Vektoren in ein kartesisches Koordinatensystem gezeichnet. Man steigt später dann auf die Darstellungsweise in Polarkoordinaten um, wo man mithilfe von Winkeln die Zahlen ortet.

Man könnte sich nun fragen, wieso man sich eigentlich die Mühe macht, und eine Zahl i definiert, die es vermutlich gar nicht gibt. Man nehme sich das Anfangsbeispiel wieder vor. Es kann ja passieren, dass genau die Wurzel mit dem negativen Radikanden, dessen Lösung nur im Komplexen existiert, genau die Lösung ist, die man gesucht hat. Und diese komplexe Lösung kann sich in eine reelle umwandeln, wenn man sie im weiteren Verlauf wieder quadriert.

Es ist aber anzumerken, dass das sinnerfragende „Warum?“ keine mathematische Frage ist, sondern eher eine philosophische. Die komplexen Zahlen haben noch viele weitere kuriose Eigenschaften, die in der Kürze nicht angesprochen werden können. Ich hoffe, ich konnte wenigstens, dass Thema vorstellen und motivieren, Mathevorlesungen zu besuchen, die wirklich interessant und unterhaltsam sind.

Hasan Hüseyin Hendek (Mathematik-Leistungskurs Q2)

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